Question

16．如图，正方形ABCD的面积为5cm²，E，F分别为CD，DA的中点，BE，CF交于点P．求AP的长．

Answer 1

分析 延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△MAF，得出BA=MA，由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，得出AP=$\frac{1}{2}$BM，即可得出结论．

解答 解：延长CF、BA交于点M，如图所示
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的面积为5cm²，
∴AB=BC=CD=AD=$\sqrt{5}$cm，∠BAD=∠BCE=∠D=90°，
∴∠MAF=90°，
∵E，F分别为CD，DA的中点，
∴CE=DE=DF=AF，
在△BCE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠D}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP=90°，
∴∠CBE+∠BCP=90°，
∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．
在△CDF和△MAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠MAF}\\{DF=AF}\\{∠CFD=∠MFA}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△MAF（ASA），
∴CD=AM．
∵CD=AB，
∴AB=AM．
∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，
∴AP=$\frac{1}{2}$BM，
∴AP=AB=$\sqrt{5}$cm．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．