Question

如图：已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE．则∠B=

 

．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：延长BA到F，使AF=AC，由AB+AC=BE，等量代换可得出AB+AF=BE，而BA+AF=BF，可得出BF=BE，即三角形BEF为等腰三角形，用顶角∠B，利用三角形的内角和定理表示出底角∠F，再由AD与AE垂直，得到∠DAE为直角，又∠BAD=∠DAC=9°，根据平角的定义求出∠FAE=81°，同时由∠DAC=9°，由直角∠DAE-∠DAC求出∠CAE也为81°，可得出∠CAE=∠FAE，再由AF=AC，AE为公共边，利用SAS可得出三角形AFE与三角形ACE全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠F=∠ACE，由∠ACE为三角形ABC的外角，根据外角的性质得到∠ACE=∠B+∠BAC，由∠BAC的度数，表示出∠ACE，即为∠F，根据表示出的∠F相等列出关于∠B的方程，求出方程的解即可得到∠B的度数．

解答：解：延长BA到F，使AF=AC，连接EF，如图所示：

∵AB+AC=BE，
∴AB+AF=BE，即BF=BE，
∴∠F=∠BEF=

180°-∠B

2

，
∵∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，即∠DAE=90°，
∴∠FAE=180°-（∠BAD+∠DAE）=180°-（9°+90°）=81°，
∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-9°=81°，
∴∠FAE=∠CAE，
在△AFE和△ACE中，
∵

AF=AC ∠FAE=∠CAE AE=AE

，
∴△AFE≌△ACE（SAS），
∴∠F=∠ACE，
又∵∠ACE为△ABC的外角，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°，
∴∠F=∠B+18°，
∴∠B+18°=

180°-∠B

2

，
则∠B=48°．
故答案为：48°

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，利用了转化及等量代换的思想，其中根据题意作出如图所示的辅助线是解本题的关键．