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    4．（1）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC．试探究：EG与FH的数量关系，并说明理由．

    （2）拓展延伸：如图2，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：（1）中EG与FH的数量关系还成立吗？并说明理由．
    （3）反思提升：若将（2）中的菱形ABCD改为平行四边形ABCD（如图3），AB=a，AD=b，其他条件不变，则$\frac{EG}{FH}$=$\frac{b}{a}$的猜想正确吗？请说明理由．

    分析 （1）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，由正方形的性质和矩形的性质易得GM=HN，再利用四边形的内角和为360°，可得∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，易得∠HFN=∠GEM，由AAS定理可证得△GME≌△HNF，利用全等三角形的性质可得结论；
    （2）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，由菱形的性质可得DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，利用菱形的面积公式易得GM=HN，由AAS定理，易证得△GME≌△HNF，又全等三角形的性质可得结论；
    （3）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，利用平行四边形的性质和面积公式可得$\frac{GM}{HN}=\frac{b}{a}$，易得△GME∽△HNF，利用相似三角形的性质可得猜想正确．

    解答 （1）解：EG=FH                                                         
    理由是：如图1，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠D=∠A=∠B=∠C=90°，
    又∵GM⊥AB，HN⊥BC
    ∴四边形ADGM、四边形AHNB是矩形，
    ∴HN=AB，AD=GM，
    ∴HN=GM，
    ∵∠ADC=∠HOE=90°，
    ∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，
    ∵AD∥BC，DC∥AB，
    ∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
    ∴∠HFN=∠GEM，
    ∵HN⊥BC，GM⊥AB，
    ∴∠GME=∠HNF=90°，
    在△GME和△HNF中$\left\{\begin{array}{l}{∠GEM=∠HFN}\\{∠GME=∠HNF}\\{GM=HN}\end{array}\right.$，
    ∴△GME≌△HNF（AAS），
    ∴EG=FH；

    （2）EG=FH，
    理由是：如图2，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，
    ∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN，
    ∴GM=HN，
    ∵GM⊥AB，HN⊥BC，
    ∴∠GME=∠HNF=90°，
    ∵∠ADC=∠HOE，
    ∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°
    ∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
    ∵AD∥BC，DC∥AB，
    ∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
    ∴∠HFN=∠GEM，
    在△GME和△HNF中$\left\{\begin{array}{l}{∠GEM=∠HFN}\\{∠GME=∠HNF}\\{GM=HN}\end{array}\right.$，
    ∴△GME≌△HNF（AAS），
    ∴EG=FH；

    （3）正确．
    理由是：如图3，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AD∥BC，DC∥AB，
    ∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN
    ∵AB=a，AD=b，
    ∴$\frac{GM}{HN}=\frac{b}{a}$，
    ∵GM⊥AB，HN⊥BC，
    ∴∠GME=∠HNF=90°，
    ∵∠ADC=∠HOE，
    ∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
    ∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
    ∵AD∥BC，DC∥AB，
    ∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
    ∴∠HFN=∠GEM，
    ∴△GME∽△HNF，
    ∴$\frac{EG}{FH}=\frac{GM}{HN}=\frac{b}{a}$．

    点评 本题主要考查了正方形，菱形，平行四边形的性质，构建全等三角形和相似三角形是解答此题的关键．

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