Question

如图，直线l与半径为1的⊙O相切于点A，弦BC∥l，D是圆周上一点，∠ADB=30°．
（1）求∠AOB；
（2）求BC．

Answer 1

分析：（1）连接OA，OB的圆心角∠AOB，圆周角∠AOD和圆心角∠AOB所对的弧都是

AB

，所以能求出∠AOB=2∠AOD=60°．
（2）连接OA交BC于点E，由已知直线l与半径为1的⊙O相切于点A，所以OA⊥l，又弦BC∥l，则得OE⊥BC，从而得到直角三角形BEO，OB是半径为1，∠BOE=60°，所以∠EBO=30°，求出OE，再根据勾股定理求出BE，垂径定理求出BC．

解答：解：（1）连接OB，
∠AOB=2∠ADB=60°（同弧上的圆心角是圆周角的2倍）．

（2）连接OA交BC于点E，
∵直线l与半径为1的⊙O相切于点A，（已知），
∴OA⊥l，
又BC∥l，
∴OE⊥BC，
又∠AOB=60°（已求），
∴∠EBO=30°，
所以在直角三角形BEO中，
OE=

1

2

OB=

1

2

，
由勾股定理得：
BE=

3

2

，
又OA是半径，
∴BC=2BE=

3

．

点评：此题考查的知识点是切线的性质、垂径定理及勾股定理的应用，关键是要知道同弧上的圆心角是圆周角的2倍，由已知得直角三角形BEO，由勾股定理求得BE，再由垂径定理求得BC．