Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD相交于点G，DF⊥EF，设AG=x，DF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当AD=11时，求AG的长；
（3）如果半径为EG的⊙E与半径为FD的⊙F相切，求这两个圆的半径．

Answer 1

分析：（1）先根据AD∥BC，∠B=90°求出∠EAG=∠B=90°，在Rt△AEG中根据勾股定理可用x表示出EG的值，再根据平行线分线段成比例可得出

FG

AB

=

EG

AE

，进而可得到关于x、y的关系式，由二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可；
（2）由△DFG∽△EAG可得到

GD

EG

=

FG

AG

，可用x表示出GD的值，再把AD=11代入即可求出x的值，进而得出AG的长；
（3）①当⊙E与⊙F外切时，EF=EG+FD=EG+FG，再由△DFG∽△EAG即可求出AG=AE=2，进而可得出⊙E与⊙F的半径；
②当⊙E与⊙F内切时，EF=FD-EG，再把EF、FD及ED的关系式代入即可求出x的值，由勾股定理即可求出两圆的半径．

解答：解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠EAG=∠B=90°，
∴EG=

AE2+AG2

=

4+x2

，
∵

FG

AB

=

EG

AE

，
∴FG=

AB•EG

AE

=

4• 4+x2

2

=2

4+x2

，
∵∠DFG=∠EAG=90°，∠EGA=∠DGF，△DFG∽△EAG，
∴

DF

GF

=

AE

AG

，
∴

y

2 4+x2

=

2

x

，
∴y关于x的函数解析式为y=

4 4+x2

x

，定义域为0＜x≤4．

（2）∵△DFG∽△EAG，
∴

GD

EG

=

FG

AG

，
∴

GD

4+x2

=

2 4+x2

x

，
∴GD=

8+2x2

x

．
当AD=11时，x+

8+2x2

x

=11，x₁=1，x₂=

8

3

，
经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以AG的长为1或

8

3

．

（3）当⊙E与⊙F外切时，EF=EG+FD=EG+FG，
∴FD=FG，
∵△DFG∽△EAG，
∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．
∴AG=AE=2；
∴⊙E的半径EG=2

2

，⊙F的半径FD=4

2

．
当⊙E与⊙F内切时，EF=FD-EG，
∴3

4+x2

=

4 4+x2

x

-

4+x2

，
∵

4+x2

≠0，
∴3=

4

x

-1，
∴x=1，
∴⊙E的半径EG=

4+1

=

5

，⊙F的半径FD=4

5

，
∴⊙E的半径为2

2

，⊙F的半径为4

2

；或⊙E的半径为

5

，⊙F的半径为4

5

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理及两圆相切的性质，涉及面较广，难度较大，在解（3）时要注意分两圆外切与内切两种情况进行讨论．