Question

已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，tan∠ACB=

4

3

，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）应该是相切，连接OB证OB⊥BD即可．本题的基本思路是通过平行线，弦切角定理，等边对等角，来得出相等的角，然后将这些相等的角进行置换，最终转换到一个三角形中，根据三角形的内角和来求出度数．从而得出∠OBD=90°的结论．
（2）有了∠ACB的正切值也就有了∠D的正切值，那么可在直角三角形OBD中，有半径的长，有∠D的正切值，可用正弦函数求出OD的长，也就求出了CD的长．

解答：解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图，连接OB．
∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，
∴∠2=∠CBD，
∵AB∥OC，
∴∠2=∠A，
∴∠A=∠CBD．
∵OB=OC，
∴∠BOC+2∠3=180°．
∵∠BOC=2∠A，
∴∠A+∠3=90°．
∴∠CBD+∠3=90°．
∴∠OBD=90°．
∴直线BD与⊙O相切．

（2）∵∠D=∠ACB，tan∠ACB=

4

3

，
∴tanD=

4

3

．
∵∠OBD=90°，OB=4，tanD=

4

3

，
∴sinD=

4

5

，OD=

OB

sinD

=5．
∴CD=OD-OC=1．

点评：本题考查的是切线的判定以及解直角三角形，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．