分析 首先证明△ABC≌△GFC(SAS),利用全等三角形的性质可得:∠CGF=∠BAC=30°,在直角△ABC中,根据三角函数即可求得AC,进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长,在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、进而可求出PQ的长.
解答 解:延长BA交QR于点M,连接AR,AP.
在△ABC和△GFC中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=GC}\\{∠ACB=∠GCF}\\{BC=FC}\end{array}\right.$,
∴△ABC≌△GFC(SAS),
∴∠CGF=∠BAC=30°,
∴∠HGQ=60°,
∵∠HAC=∠BAD=90°,
∴∠BAC+∠DAH=180°,
又∵AD∥QR,
∴∠RHA+∠DAH=180°,
∴∠RHA=∠BAC=30°,
∴∠QHG=60°,
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°,
∴△QHG是等边三角形.
AC=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$,
则QH=HA=HG=AC=2$\sqrt{3}$,
在直角△HMA中,HM=AH•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3,AM=HA•cos60°=$\sqrt{3}$,
在直角△AMR中,MR=AD=AB=4.
∴QR=2$\sqrt{3}$+3+4=7+2$\sqrt{3}$,
∴QP=2QR=14+4$\sqrt{3}$.
故答案为:14+4$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性质,题目的综合性较强,难度较大,正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键.
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班级 | 平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) |
九(1) | 85 | 85 | 85 |
九(2) | 85 | 80 | 100 |
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