Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点,且点O₂在⊙O₁上.

    (1)如图甲所示,AD是⊙O₂的直径,连DB并延长交⊙O₁于C,求证:CO₂⊥AD.

(2)如图乙所示,如果AD是⊙O₂的一条弦,连DB并延长交⊙O₁于C,那么CO₂所在的直线是否与AD垂直?证明你的结论.

Answer 1

(1)证明:连结AB, ∵AD是⊙O₂的直径,∴∠ABD=90°,∴∠D+∠DAB=90°,

又∵∠DAB=∠DCO₂,∴∠D+∠DCO₂=90°,∴∠DO₂C=90°,即CO₂ ⊥AD.

(2)证明:过A作⊙O₂的直径AD′,连结D′B、AB,设直径CO₂ 交AD于E,

∵AD′是⊙O₂的直径,∴∠ABD′=90°,∴∠D′+∠D′AB=90°,

∵∠D=∠D′, ∠D′AB=∠DCE,∴∠D+∠DCE=90°,∴∠DEC=90°,即直线CO₂⊥AD.

    点拨:此题是与圆有关性质的综合应用,由直径挖掘出直角已成为规律.