Question

已知点A是双曲线y=

3

x

在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB=2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，先证明Rt△AOC∽Rt△OBD，利用相似比得到AC=2OD，OC=2BD，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，可设A（a，

3

a

）（a＞0），则OD=

1

2

a，BD=

3

2a

，所以B点坐标为（

3

2a

，-

1

2

a），由于

3

2a

•（-

1

2

a）=-

3

4

，则可判断点B在反比例函数y=-

3

4x

的图象上．

解答：解：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
而∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴Rt△AOC∽Rt△OBD，
∴

AC

OD

=

OC

BD

=

OA

BO

=

2OB

OB

=2，
∴AC=2OD，OC=2BD，
∵点A是双曲线y=

3

x

在第一象限的点，
∴设A（a，

3

a

）（a＞0），
∴OD=

1

2

a，BD=

1

2

•

3

a

=

3

2a

，
∴B点坐标为（

3

2a

，-

1

2

a），
而

3

2a

•（-

1

2

a）=-

3

4

，
∴点B在反比例函数y=-

3

4x

的图象上．
故答案为y=-

3

4x

．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．