Question

直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C，交x轴于点E．

①请直接写出点C、点D的坐标，并求出m的值；

②点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M、交CE于N．设线段MN的长度为d，求d与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

③点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，为何值时点P、C、D恰好能组成一个等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴点A的坐标为（3，0）点B的坐标为（0，4），

∵四边形ABCD是菱形，

∴点C的坐标为（﹣5，4），点D的坐标为（﹣2，0），

∵直线y=x+m经过点C，

∴m=9，

（2）∵MN 经过点P（0，t）且平行于x轴，

∴可设点M的坐标为（x_M，t），点N的坐标为（x_N，t），

∵点M在直线AB上，

直线AB的解析式为y=﹣x+4，

∴t=，得x_M=﹣t+3，

同理点N在直线CE上，直线CE的解析式为y=x+9，

∴t=x_N+9，得x_N=t﹣9，

∵MN∥x轴且线段MN的长度为d，

∴d=x_M﹣x_N=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；

（3）∵直线AB的解析式为y=﹣x+4，

∴点A 的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），AB=5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=5，

∴点P运动到点B时，△PCD即为△BCD是一个等腰三角形，此时=4；

∵点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，

∴OP=t，PB=|t﹣4|，

∵点D的坐标为（﹣2，0），

∴OD=2，由勾股定理得PD²=OD²+OP²=4+t²，

同理，CP²=BC²+BP²=25+（t﹣4）²，

当PD=CD=5时，PD²=4+t²=25，

∴t=（舍负），

当PD=CP时，PD²=CP²，4+t²=25+（t﹣4）²，

∴t=，

综上所述，t=4，或t=，t=时，△PCD均为等腰三角形．