Question

17．上午7：00，一列火车在A城的正北240km处，以120km/h的速度驶向A城．同时，一辆汽车在A城的正东120km处，以120km/h的速度驶向正西方向行驶．假设火车和汽车的行驶的方向和速度都保持不变，问：何时火车与汽车之间的距离最近？最近距离是多少千米？当火车与汽车之间的距离最近时，汽车是否已过铁路与公路的立交处？

Answer 1

分析 画出示意图，利用勾股定理表示出两车的距离，然后利用配方法求出两车的距离最小值，计算出汽车行走路程与120km比较，可判断是否已过交叉口．

解答 解：如图所示：
设两车经过时间为t，两车之间的距离为y，两车的行驶方向如图所示，由题意得
AB=240-120t，AC=120-120t，
在Rt△ABC中，BC²=AB²+AC²=（240-120t）²+（120-120t）²=28800（t-$\frac{3}{2}$）²+7200，
当t=$\frac{3}{2}$时，BC之间的距离最小，此时BC=$\sqrt{7200}$=60$\sqrt{2}$km，
当t=$\frac{3}{2}$h时，汽车运动的距离为120×$\frac{3}{2}$=180km＞120km，
故已过铁路与公路的交叉口．
答：当经过$\frac{3}{2}$小时时汽车与火车的距离最近，此时汽车已过铁路与公路的交叉口．

点评 本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两车之间的距离表达式，注意掌握配方法求二次函数最值得应用，难度较大．