Question

6．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（　　）

• A． $5\sqrt{3}$
• B． $5\sqrt{2}$
• C． 5
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 方法1、过点D作OD⊥AC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC的长．
方法2、先求出∠AOP=60°，进而求出∠ACP=∠P，即可得出AC=AP，求出AC即可．

解答 解：
方法1、过点D作OD⊥AC于点D，
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAD=30°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴OD=$\frac{1}{2}$AO=2.5，
∴AD=$\sqrt{A{O}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=2AD=5$\sqrt{3}$，
故选A，

方法2、如图，
连接BC，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠BOC=60°，
∴∠ACP=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°=∠P，
∴AP=AC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=10，
∴AC=5$\sqrt{3}$，
∴AP=5$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，熟记切线的性质定理是解题的关键．