如图l所示.在直角梯形ABCD中.∠BAD=90°.E是直线AB上一点.过E作直线∥BC.交直线CD于点F．将直线向右平移.设平移距离BE为t.直角梯形ABCD被直线扫过的面积为S.S关于的函数图象如图2所示.OM为线段.MN为抛物线的一部分.NQ为射线.N点横坐标为4．(1)AB=2,CD=4,梯形ABCD的面积为12,(2)当2＜t＜4时.求S关于的函数关系式,(3)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．如图l所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直线AB上一点，过E作直线∥BC，交直线CD于点F．将直线向右平移，设平移距离BE为t（y≥0），直角梯形ABCD被直线扫过的面积（图中阴影部分）为S，S关于的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．
（1）AB=2；CD=4；梯形ABCD的面积为12（直接写出答案）；
（2）当2＜t＜4时，求S关于的函数关系式；
（3）当为何值时，直线将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：3．

分析（1）根据图②可知，当0≤t≤2时，E在线段AB上运动（包括与A、B重合），在此期间E点运动了2，因此可求得AB的长为2．根据图形可知：当2＜t＜4时，E在AB的延长线上，且F在D点左侧，此期间E点运动了2，因此下底长为2+2=4，根据t=2时，重合部分的面积为8可求出梯形的高为4，因此梯形的面积$\frac{1}{2}$×（2+4）×4=12．
（2）当2＜t＜4时，直线扫过梯形的部分是个五边形，如果设直线l与AD的交点为0，那么重合部分的面积可用梯形的面积减去三角形OFD的面积来求得．梯形的面积在（1）中已经求得．三角形OFD中，底边DF=4-t，而DF上的高，可用DF的长和∠BCD的正切值求出，由此可得出S，t的函数关系式．
（3）本题要分情况讨论：
①当0＜t＜2时，重合部分的平行四边形的面积：直角梯形AEFD的面积=1：3，据此可求出t的值．
②当2＜t＜4时，重合部分的五边形的面积：三角形OFD的面积=3：1，由此可求出t的值．

解答解：（1）根据函数图象知，当0≤t≤2时，E在线段AB上运动（包括与A、B重合），在此期间E点运动了2，因此可求得AB的长为2．
根据图形可知：当2＜t＜4时，E在AB的延长线上，且F在D点左侧，此期间E点运动了2，因此下底长为CD=2+2=4，
根据t=2时，重合部分的面积为8可求出梯形的高为4，
S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}×（2+4）×4$=12，
故答案为：2，4，12；
（2）当2＜t＜4时，如图所示，

直角梯形ABCD被直线扫过的面积为：
S=S_{直角梯形ABCD}-S_Rt△DOF=$12-\frac{1}{2}（4-t）×2（4-t）$=-t²+8t-4．
（3）①当0＜t＜2时，有$\frac{4t}{12-4t}=\frac{1}{3}$，
解得t=$\frac{3}{4}$．
②当2＜t＜4时，有$\frac{-{t}^{2}+8t-4}{12-（-{t}^{2}+8t-4）}=\frac{3}{1}$
即t²-8t+13=0，
解得${t}_{1}=4-\sqrt{3}$，${t}_{2}=4+\sqrt{3}$ （舍去）．
答：当t=$\frac{3}{4}$或t=4-$\sqrt{3}$时，直线将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：3．

点评本题是运动型问题，考查了直角梯形和平行四边形的性质、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识，在（3）中分类讨论思想的应是解决本题的关键．

练习册系列答案

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