Question

17．某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y（万元）与产量x（吨）之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如表：

x（吨）	10	20	30
y（万元/吨）	45	40	35

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：总成本=每吨成本×总产量）
（3）市场调查发现，这种产品每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的函数关系，该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨．请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．（注：利润=售价-成本）

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过55吨时，得出x的取值范围；
（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可．
（3）先利用待定系数法求出每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间的函数关系式，再分别求出对应的销售单价、成本，根据利润=售价-成本，即可解答．

解答 解：（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将（10，45）（20，40）代入解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=45}\\{20k+b=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-0.5}\\{b=50}\end{array}\right.$
∴y=-0.5x+50，（10≤x≤55）．
（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，
即x（-0.5x+50）=1200，
解得：x₁=40，x₂=60，
∵10≤x≤55，
∴x=40，
∴该产品的总产量为40吨．
（3）设每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间的函数关系式为m=k₁n+b₁，
把（40，30），（55，15）代入解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{40{k}_{1}+{b}_{1}=30}\\{55{k}_{1}+{b}_{1}=15}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{{b}_{1}=70}\end{array}\right.$，
∴m=-n+70，
当m=25时，n=45，
在y=-0.5x+50，（10≤x≤55）中，当x=25时，y=37.5，
∴利润为：25×（45-37.5）=187.5（万元）．

点评 此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本=每吨的成本×生产数量得出等式方程求出是解题关键．