Question

6．如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）点E的坐标为（$\frac{3}{4}$t，t），F的坐标为（10-$\frac{1}{2}$t，t）；
（2）当t为何值时，四边形POEF是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥OB，由点A的坐标为（6，8），可得OD=6，AD=8，然后由勾股定理得：OA=10，由OA=OB可得：OB=10，进而可得：BD=4，进而可得点B的坐标为：（10，0），然后设OA的关系式：y=kx，然后将A（6，8）代入即可得直线OA的关系式，然后设直线AB的关系式为：y=kx+b，然后将A，B两点代入，即可确定直线AB的关系式，由过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，可知点Q、E、F三点的纵坐标相等均为t，然后由点E在OA上，点F在AB上，将点E、F的纵坐标分别代入对应的关系式，即可得到得到点E、F的坐标；
（2）由EF∥OP，欲使四边形POEF是平行四边形，只需EF=OP即可，从而可得关于t的等式，解答即可；
（3）分三种情况讨论：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF即可．

解答 解：（1）过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图1，

∵点A的坐标为（6，8），
∴OD=6，AD=8，
由勾股定理得：OA=10，
∵OA=OB，
∴OB=10，
∴BD=4，
∴点B的坐标为：（10，0），
设直线OA的关系式：y=kx，
将A（6，8）代入上式，得：
6k=8，
解得：k=$\frac{4}{3}$，
所以直线OA的关系式：y=$\frac{4}{3}$x，
设直线AB的关系式为：y=kx+b，
将A，B两点代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=8①}\\{10k+b=0②}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=20}\end{array}\right.$，
所以直线AB的关系式为：y=-2x+20，
∵过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，
∴点Q、E、F三点的纵坐标相等，
∵动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，
动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，
∴t秒后，OQ=t，OP=2t，
∴Q、E、F三点的纵坐标均为t，
将点E的纵坐标t代入y=$\frac{4}{3}$x，得：x=$\frac{3}{4}$t，
∴E点的坐标为：（$\frac{3}{4}t$，t），
将点E的纵坐标t代入y=-2x+20，得：x=10-$\frac{1}{2}$t，
∴F点的坐标为：（10-$\frac{1}{2}$t，t），
故答案为：（$\frac{3}{4}$t，t），（10-$\frac{1}{2}$t，t）；

（2）由（1）知：E（$\frac{3}{4}$t，t），F（10-$\frac{1}{2}$t，t），
∴EF=10-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{4}$t=10-$\frac{5}{4}$t，
∵四边形POEF是平行四边形，
∴EF∥OP，且EF=OP，
即10-$\frac{5}{4}$t=2t，
解得：t=$\frac{40}{13}$，
∴当t为$\frac{40}{13}$时，四边形POEF是平行四边形；

（3）过点E作EM⊥OB，垂足为M，过点F作FN⊥OB，垂足为N，
可得四边形EMNF是矩形，如图2，

①当PE⊥PF时，PE²+PF²=EF²，
由（1）知：OM=$\frac{3}{4}$t，EM=FN=t，ON=10-$\frac{1}{2}$t，EF=10-$\frac{5}{4}t$，
∴PM=$\frac{5}{4}t$，PN=10-$\frac{5}{2}t$，
∵PE²=ME²+MP²，PF²=PN²+FN²，
∴t²+（$\frac{5}{4}$t）²+（10-$\frac{5}{2}$t）²+t²=（10-$\frac{5}{4}t$）²，
解得：t₁=0（舍去），t₂=$\frac{100}{33}$；
②当PE⊥EF时，如图3，可得四边形EPNF是矩形，

∵四边形EPNF是矩形，
∴EF=PN，
即：EF=ON-OP，
∴10-$\frac{5}{4}t$=10-$\frac{1}{2}t$-2t，
解得t=0（舍去）；
③当EF⊥PF时，如图4，可得四边形EMPF是矩形，

∵四边形EMPF是矩形，
∴EF=MP，
即EF=OP-OM，
∴10-$\frac{5}{4}t$=2t-$\frac{3}{4}$t，
解得：t=4，
∴当t=$\frac{100}{33}$和4时，使△PEF为直角三角形．

点评 此题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题，平行四边形的判定，勾股定理的应用及矩形的性质等知识点，解决第（3）的关键是：分三种情况讨论：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF．