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如图,已知抛物线C1数学公式,把它平移后得抛物线C2,使C2经过点A(0,8),且与抛物线C1交于点B(2,n).在x轴上有一点P,从原点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴的方向移动,设点P移动的时间为t秒,过点P作x轴的垂线l,分别交抛物线C1、C2于E、D,当直线l经过点B前停止运动,以DE为边在直线l左侧画正方形DEFG.
(1)判断抛物线C2的顶点是否在x轴上,并说明理由;
(2)当t为何值时,正方形DEFG在y轴右侧的部分的面积S有最大值?最大值为多少?
(3)设M为正方形DEFG的对称中心.当t为何值时,△MOP为等腰三角形?作业宝

解:(1)抛物线C2的顶点在x轴上.理由如下:
∵点B(2,n)在抛物线C1上,
×22=n,
解得n=2,
∴点B的坐标为(2,2),
∵抛物线C2是抛物线C1平移得到,
∴设抛物线C2的解析式为y=x2+bx+c,
又∵C2经过点A(0,8),

解得
∴抛物线C2的解析式为y=x2-4x+8=(x-4)2
∴抛物线C2的顶点在x轴上;

(2)时间为t时,点D、E的坐标分别为D(t,t2-4t+8),E(t,t2),
∴DE=t2-4t+8-t2=-4t+8,
∴S=OP•DE=t(-4t+8)=-4t2+8t=-4(t-1)2+4,
∵直线l经过点B前停止运动,
∴0<t<2,
∴当t=1时,正方形DEFG在y轴右侧的部分S有最大值,最大值为4;

(3)如图,可以判定当点M在y轴左侧时,△MOP不能为等腰三角形,
∴当点M在y轴右侧,且在OP的垂直平分线上时,△MOP为等腰三角形,
此时∵点M是正方形的中心,
DE=OP,
(-4t+8)=t,
解得t=
<2,
∴符合题意,
故当t=时,△MOP为等腰三角形.
分析:(1)把点B的坐标代入抛物线C1,进行计算求出n的值,从而得到点B的坐标,然后根据平移变换不改变二次函数图象的形状,设抛物线C2的解析式为y=x2+bx+c,然后利用待定系数法求解,再根据抛物线的顶点坐标进行判断;
(2)根据两抛物线的解析式表示出点D、E的坐标,然后求出DE的长度,然后根据矩形的面积公式列式整理,再根据二次函数的最值问题求解即可;
(3)根据正方形的性质结合抛物线的对称性可以判断,当正方形的中心在y轴右侧时,△MOP为等腰三角形,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得点M到直线l的距离等于正方形边长的一半,然后列式求解即可.
点评:本题是对二次函数的综合考查,待定系数法求函数解析式,两点间的距离公式,正方形的性质,等腰三角形的性质,以及二次函数的最值问题,综合性较强,难度较大,需仔细分析并理解方可解决.
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如图,已知抛物线C1:y=a(x+2)2-5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.
(1)求P点坐标及a的值;
(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;
(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.
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(1)求P点坐标及a的值;
(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向左平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点A成中心对称时,求C3的解析式y=a(x-h)2+k;
(3)如图(2),点Q是x轴负半轴上一动点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时,求顶点N的坐标.

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如图,已知抛物线c1:y=-
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x2+bx+c
与x轴交于点A、B(点A在B的左侧),与y轴交于点C,抛物线c2与抛物线c1关于y轴对称,点A、B的对称点分别是E、D,连接CD、CB,设AD=m.
(1)抛物线c2可以看成抛物线c1向右平移
m
m
个单位得到.
(2)若m=2,求b的值.
(3)将△CDB沿直线BC折叠,点D的对应点为G,且四边形CDBG是平行四边形,
①△CDB为
等边
等边
三角形(按边分);
②若点G恰好落在抛物线c2上,求m的值.

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如图,已知抛物线C1:y=a(x+2)2-5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B精英家教网的左侧),点B的横坐标是1;
(1)求a的值;
(2)如图,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,抛物线C3的顶点为M,当点P、M关于点O成中心对称时,求抛物线C3的解析式.

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如图,已知抛物线C1y=
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x2
,把它平移后得抛物线C2,使C2经过点A(0,8),且与抛物线C1交于点B(2,n).在x轴上有一点P,从原点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴的方向移动,设点P移动的时间为t秒,过点P作x轴的垂线l,分别交抛物线C1、C2于E、D,当直线l经过点B前停止运动,以DE为边在直线l左侧画正方形DEFG.
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