解:(1)抛物线C
2的顶点在x轴上.理由如下:
∵点B(2,n)在抛物线C
1上,
∴
×2
2=n,
解得n=2,
∴点B的坐标为(2,2),
∵抛物线C
2是抛物线C
1平移得到,
∴设抛物线C
2的解析式为y=
x
2+bx+c,
又∵C
2经过点A(0,8),
∴
,
解得
,
∴抛物线C
2的解析式为y=
x
2-4x+8=
(x-4)
2,
∴抛物线C
2的顶点在x轴上;
(2)时间为t时,点D、E的坐标分别为D(t,
t
2-4t+8),E(t,
t
2),
∴DE=
t
2-4t+8-
t
2=-4t+8,
∴S=OP•DE=t(-4t+8)=-4t
2+8t=-4(t-1)
2+4,
∵直线l经过点B前停止运动,
∴0<t<2,
∴当t=1时,正方形DEFG在y轴右侧的部分S有最大值,最大值为4;
(3)如图,可以判定当点M在y轴左侧时,△MOP不能为等腰三角形,
∴当点M在y轴右侧,且在OP的垂直平分线上时,△MOP为等腰三角形,
此时∵点M是正方形的中心,
∴
DE=
OP,
即
(-4t+8)=
t,
解得t=
,
∵
<2,
∴符合题意,
故当t=
时,△MOP为等腰三角形.
分析:(1)把点B的坐标代入抛物线C
1,进行计算求出n的值,从而得到点B的坐标,然后根据平移变换不改变二次函数图象的形状,设抛物线C
2的解析式为y=
x
2+bx+c,然后利用待定系数法求解,再根据抛物线的顶点坐标进行判断;
(2)根据两抛物线的解析式表示出点D、E的坐标,然后求出DE的长度,然后根据矩形的面积公式列式整理,再根据二次函数的最值问题求解即可;
(3)根据正方形的性质结合抛物线的对称性可以判断,当正方形的中心在y轴右侧时,△MOP为等腰三角形,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得点M到直线l的距离等于正方形边长的一半,然后列式求解即可.
点评:本题是对二次函数的综合考查,待定系数法求函数解析式,两点间的距离公式,正方形的性质,等腰三角形的性质,以及二次函数的最值问题,综合性较强,难度较大,需仔细分析并理解方可解决.