Question

15．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是BD弧上的一点，OE⊥BD于点G，连接AE交BC于点F，AC是⊙O的切线．
（1）求证：∠ACB=2∠EAB；
（2）若cos∠ACB=$\frac{2}{5}$，AC=10，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，由AC是⊙O的切线，得到∠CAB=90°，根据余角的性质得到∠C=∠DAB，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到BC=25，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=5$\sqrt{21}$，根据相似三角形的性质得到BD=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=21，根据垂径定理得到BG=DG=$\frac{21}{2}$，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{DF}{FG}=\frac{AD}{GE}$=$\frac{4}{3}$，于是得到结论．

解答 解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAB=90°，
∴∠C+∠CAD=∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠C=∠DAB，
∵OE⊥BD，
∴2$\widehat{BE}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}∠$BDA，
∴∠ACB=2∠EAB；

（2）∵cos∠ACB=$\frac{2}{5}$，AC=10，
∴BC=25，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=5$\sqrt{21}$，
∵∠C=∠BAD，∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBA，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{AB}$，
∴BD=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=21，
∵OE⊥BD，
∴BG=DG=$\frac{21}{2}$，
∵AD=$\frac{AC•AB}{BC}$=2$\sqrt{21}$，
∵AO=BO，BG=DG，
∴OG=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{21}$，
∴GE=$\frac{3\sqrt{21}}{2}$，
∵AD∥GE，
∴$\frac{DF}{FG}=\frac{AD}{GE}$=$\frac{4}{3}$，
∴FG=$\frac{3}{7}$DG=$\frac{9}{2}$，
∴BF=BG+FG=$\frac{21}{2}$+$\frac{9}{2}$=15．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．