Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点A（﹣1，0），OB=4OA，OC=2OA

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是线段AB一动点，过P作PD∥AC交BC于D，当△PCD面积最大时，求点P的坐标．

（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当∠ABC恰好等于△BCM中的某个角时，直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）P（，0）；（3）M点的坐标为（3，2）或（）

【解析】

（1）先根据B（4，0），C（0，2），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入求出，然后将原抛物线解析式化为一般式即可；

（2）设P（m，0），则OC=2，AB=5，BP=4-m，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；

（3）分两种情况求解：当∠BCM＝∠ABC时和当∠CBM＝∠ABC时．

解：（1）由条件可知：B（4，0），C（0，2）

设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入上式得：

a×1×（﹣4）＝2解得：a＝﹣ ，

∴抛物线的解析式为y＝；

（2）如图1，设P（m，0），则OC=2，AB=5，BP=4-m

SΔABC= AB×OC=5

∵PD//AC∴ΔABC∽ΔPDB

∴

∴

∴

∵SΔPCB=PB×OC=4-m

∴SΔPCD=SΔPCB-SΔPDB=4-m-=

∴当m=时，ΔPCM面积最大

∴P（，0）．

（3）由题意知，∠BMC≠∠ABC，

当∠BCM＝∠ABC时，CM∥AB，如图2，

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称，

∴M（3，2）；

当∠CBM＝∠ABC时，如图3，过M作MF⊥BC于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，

∵∠CBM＝∠ABC，∠BFM＝∠BGF，

∴△MFK∽△FGB，

同理可证：△MBF∽△MFK∽△FBG∽△CBO，

∴ ， ．

设G（n，0），则F（n，﹣n+2），

∴ ，KF＝﹣n+2，

∴M（n+1，-n+4），代入抛物线解析式可解得，

n＝，n＝4（舍去）．

∴M（）．

综合以上可得M点的坐标为（3，2）或（）．