Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，⊙P与直线l相切；
（3）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

Answer 1

分析：（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出⊙P与x轴的位置关系．
（2）过P点作PQ⊥AB，垂足为Q，根据△ABP的面积公式，利用面积法表示PQ，当⊙P与直线l相切时，PQ=3，列方程求k即可．注意分两种情况讨论求解；
（3）根据正三角形的性质，分两种情况讨论，
①当圆心P在线段OB上时，②当圆心P在线段OB的延长线上时，从而求得k的值．

解答：解：（1）⊙P与x轴相切，
∵直线y=-2x-8与x轴交于A（-4，0），与y轴交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由题意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k²+4²=（8+k）²
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半径．
∴⊙P与x轴相切．
由y=-2x-8得A（-4，0），B（0，-8），
由勾股定理，得PA=

16+k2

，
∵PB=k+8，由PA=PB，得

16+k2

=k+8，
解得k=-3，
∴⊙P与x轴相切；

（2）过P点作PQ⊥AB，垂足为Q，由PQ×AB=PB×OA，
PQ=

(k+8)×4

42+82

，
P在线段OB上，当⊙P与直线l相切时，PQ=3，即

(k+8)×4

42+82

=3，
解得k=3

5

-8．
P在线段OB的延长线上，k=-8-（3

5

-8+8）=-3

5

-8，⊙P与直线l相切

（3）设⊙P与直线l交于C，D两点，连接PC，PD，
当圆心P₁在线段OB上时，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD为正三角形，
∴DE=

1

2

CD=

3

2

，P₁D=3．
∴P₁E=

3 3

2

．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴

AO

AB

=

P1E

P1B

，即

4

4 5

=

3 3 2

P1B

，
∴P₁B=

3 15

2

，（2分）
∴P₁O=BO-BP₁=8-

3 15

2

．
∴P₁（0，

3 15

2

-8）．
∴k=

3 15

2

-8．（2分）
当圆心P₂在线段OB延长线上时，
∵P₂B=

3 15

2

，
∴P₂O=BO+BP₂=

3 15

2

+8．
∴P₂（0，-

3 15

2

-8）．
∴k=-

3 15

2

-8．（2分）
∴当k=

3 15

2

-8或k=-

3 15

2

-8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．

点评：本题考查了一次函数图象，圆的切线的判定，相似三角形的判定及性质，等边三角形等内容，范围较广，题目较复杂．关键是由已知直线求A、B两点坐标，根据P点的坐标，由线段相等，面积法分别列方程求解．