Question

12．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）求证：△ABG≌AFG；
（2）求BG的长；
（3）求△FEC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；
（2）在直角△ECG中，根据勾股定理即可得出结论；
（3）结合（1）和（2）求出△CEG的面积，最后用同高的两三角形的面积的比等于底的比，即可得出结论．

解答 解：（1）∵△AFE是由△ADE折叠得到，
∴AF=AD，∠AFE=∠AFG=∠D=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

（2）∵正方形ABCD中，AB=6，CD=3DE，
∵EF=DE=$\frac{1}{3}$CD=2，
设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3；

（3）由（2）知，EF=2，BG=3，
由（1）知，Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴FG=BG=3，
∴EG=EF+FG=5，
由（2）知，CG=6-x=3，CE=CD-DE=4，
∴S_△CEG=$\frac{1}{2}$CG•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_△FEC=$\frac{2}{5}$S_△CEG=$\frac{12}{5}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．注意折叠中的对应关系，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．