Question

【题目】如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．

（1）求证：AC平分∠BAP；

（2）求证：PC2=PAPE；

（3）若AE-AP=PC=4，求圆O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5.

【解析】

（1）OA=OC，则∠OCA=∠OAC，CD∥AP，则∠OCA=∠PAC，即可求解；

（2）证明△PAC∽△PCE，即可求解；

（3）利用△PAC∽△CAB、PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，即可求解．

解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，

∵CD∥AP，

∴∠OCA=∠PAC，

∴∠OAC=∠PAC，

∴AC平分∠BAP；

（2）连接AD，

∵CD为圆的直径，

∴∠CAD=90°，

∴∠DCA+∠D=90°，

∵CD∥PA，

∴∠DCA=∠PAC，

又∠PAC+∠PCA=90°，

∴∠PAC=∠D=∠E，

∴△PAC∽△PCE，

∴，

∴PC2=PAPE；

（3）AE=AP+PC=AP+4，

由（2）得16=PA（PA+PA+4），

PA2+2PA-8=0，解得，PA=2，

连接BC，

∵CP是切线，则∠PCA=∠CBA，

Rt△PAC∽Rt△CAB，

，而PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，

其中PA=2，

解得：AB=10，

则圆O的半径为5．