【题目】已知:如图1,菱形ABCD的边长为6,∠DAB=60°,点E是AB的中点,连接AC、EC.点Q从点A出发,沿折线A﹣D﹣C运动,同时点P从点A出发,沿射线AB运动,P、Q的速度均为每秒1个单位长度;以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF,△PQF与△AEC重叠部分的面积为S,当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动,设运动的时间为t.
(1)当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时,求运动时间t的值;当等边△PQF的边QF 恰好经过点E时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)如图2,当点Q到达C点时,将等边△PQF绕点P旋转α°(0<α<360),直线PF分别与直线AC、直线CD交于点M、N.是否存在这样的α,使△CMN为等腰三角形?若存在,请直接写出此时线段CM的长度;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)9(秒);(2)0<t≤3时,S=PG×AG=;当3<t≤6时,S=,
当6<t≤9时,如图5,S=;当9<t≤12时,S=;
(3)①α=150°如图7,CM=2;②α=105°,如图8,CM=12-6;③α=60°,如图9,CM=6;④α=15°,如图10,CM=12+6.
【解析】
试题分析:(1)根据题意求出运动的距离,再除以速度即可求出时间;
(2)分当0<t≤3时,当3<t≤6时,当6<t≤9时,当9<t≤12时,四种情况,分别求出重叠部分面积即可;
(3)分交点都在BC左侧,顶角为120°,交点都在BC右侧时,顶角可能为30°和120°;交点在BC两侧时,顶角为150°进行讨论求解即可.
试题解析:(1)当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时,
如图1
AQ=AD=6,∴t=6÷1=6(秒);当等边△PQF的边QF 恰好经过点E时,
如图2
由菱形ABCD的边长为6,∠DAB=60°,P、Q的速度均为每秒1个单位长度,
知:∠APQ=60°,∠QEB=60°,∴QE∥AD,∵点E是AB的中点,
∴此时点Q是CD的中点,可求:AD+DQ=6+3=9,所以t=9÷1=9(秒);
(2)
如图3
当0<t≤3时,由菱形ABCD的边长为6,∠DAB=60°,可求:∠PAG=30°,
∵∠APQ=60°,∴∠AGP=90°,由AP=t,可求:PG=t,AG=t,
∴S=PG×AG=;
当3<t≤6时,
如图4
AE=3,AP=t,∴PE=t﹣3,过点C作AB的垂线,垂足为H,
由菱形ABCD的边长为6,∠DAB=60°,可求:CH=3,BH=3,EH=6,
tan∠KEB=,过点K作KM⊥AB,可求KM=,
∴S△PEK=,可求∠QAG=30°,又∠AQG=60°,AQ=t,
可求∠AGQ=90°,DG=t,GQ=t,∴S△AGQ=,等边三角形APD的面积为:
∴S=﹣﹣=,
当6<t≤9时,如图5
与前同理可求:S△FQP=,S△GQN=,S△KEP=,
∴S=﹣﹣=,
当9<t≤12时,
如图6
求出:S△PQF=,S△QGH=;S△NEP=;S△KEF=,
∴S=S△PQF﹣S△QGH﹣S△NEP+S△KEF=﹣﹣+=;
(3)
逆时针旋转:
①α=150°,如图7此时,易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°,
可证△ACD∽△APM,∴,
易求AP=12,AC=6,AD=6,解得:AM=4,所以,CM=2;
②α=105°,如图8
此时,易求CM=CN,∠CMN=∠CNM=∠APM=75°,∴AM=AP=12,
在菱形ABCD中,AD=CD=6,∠D=120°,
可求AC=6,所以,CM=12-6;
③α=60°,如图9
此时,易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°,∴BC∥PM,由AB=BP=6可得,CM=AC=6
所以:CM=6;
④α=15°,如图10
此时,易求∠APM=∠M=15°,∴AM=AP=12,所以:CM=AM+AC,CM=12+6.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】计算下列各题
(1)1+(﹣2)+|﹣2﹣3|﹣5
(2)﹣24﹣ ×[5﹣(﹣3)2]
(3)( +1 ﹣2.75)×(﹣24)+(﹣12016).
(4)[50﹣( ﹣ + )×(﹣6)2]÷(﹣7)2 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】今年“五一”节,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用的时间为t(分钟),所走的路程为s(米),s与t之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是( )
A.小明中途休息用了20分钟
B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C.小明在上述过程中所走的路程为6600米
D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体,下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值.
(1)上述反映了哪两个变量之问的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)当所挂重物为3kg时,弹簧有多长?不挂重物呢?
(3)若所挂重物为6kg时(在弹簧的允许范围内),你能说出此时弹簧的长度吗?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com