Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与抛物线y=-x²-3x+7的形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5，则此抛物线的解析式为

y=x²-2x+6 或y=x²-2x-4 或y=-x²+2x+4 或y=-x²+2x-6

．

Answer 1

分析：先根据抛物线y=ax²+bx+c与抛物线y=-x²-3x+7的形状相同可知a=±1，则抛物线解析式为y=±x²+bx+c，由顶点在直线x=1上可求出b的值，再根据顶点到x轴的距离为5求出c的值即可．

解答：解：∵抛物线y=ax²+bx+c与抛物线y=-x²-3x+7的形状相同，
∴a=±1，
∴抛物线解析式为y=±x²+bx+c，
∵抛物线顶点在直线x=1上，
∴a=±1，
∴当a=-1时，-

b

2×(-1)

=1，
∴b=2；
当a=1时，-

b

2×1

=1，
∴b=-2，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+c=-（x-1）²+c+1，或y=x²-2x+c=（x-1）²+c-1，
∵抛物线顶点到x轴的距离为5．
∴当y=x²-2x+c=（x-1）²+c-1
∴|c-1|=5，解得c=-4或c=6，
∴此时抛物线的解析式为：y=x²-2x+6 或y=x²-2x-4；
∵当抛物线的解析式为y=-x²+2x+c=-（x-1）²+c+1时，
∴|c+1|=5，解得c=4或c=-6，
∴此时抛物线的解析式为：y=-x²+2x+4 或y=-x²+2x-6．
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x+6或y=x²-2x-4或y=-x²+2x+4或y=-x²+2x-6．

点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是根据抛物线的对称轴方程得出抛物线的顶点式，得出c的值，进而得出抛物线的解析式．