Question

9．如图，四边形ABDC中，∠B=∠D=90°，BC=AB，以AB为直径的⊙O交BC于E．
（1）求证：BE=CD；
（2）若BD=6，CE=2，求tan∠BCO的值．

Answer 1

分析 （1）连接AE，根据平行线的性质得到∠BCD=∠ABC，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=∠D=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得到AE=BD=6，过O作OF⊥BE于F，根据垂径定理得到BF=EF，根据三角形中位线的性质得到OF=$\frac{1}{2}$AE=3，根据勾股定理得到BE=8，根据三角函数的定义即刻得到结论．

解答 （1）证明：连接AE，
∵∠B=∠D=90°，
∴CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠D=90°，
在△ABE与△CBD中$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AEB}\\{∠DCB=∠ABE}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴BE=CD；

（2）解：∵△ABE≌△BCD，
∴AE=BD=6，
过O作OF⊥BE于F，
∴BF=EF，
∵AO=OB，
∴OF=$\frac{1}{2}$AE=3，
∵AB²=BE²+AE²，即（2+BE）²=BE²+6²，
∴BE=8，
∴EF=4，
∴CF=6，
∴tan∠BCO=$\frac{OF}{CF}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，全等三角形的判断和性质，三角形的中位线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．