Question

如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC于D，连接AC，∠DAC=∠CAP．AP交BC的延长线于P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若DC=3cm，CP=5cm，求⊙O的直径BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OA，证明OA⊥AP即可；
（2）过点C作CE⊥AP于E，证得PEC∽△PAO，设⊙O半径为Rcm，利用相似三角形的对应边的比相等得到

3

R

=

5

5+R

后即可求得半径．

解答：解：（1）证明：连接OA，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠CAP，
∴∠OAC+∠CAP=90°
∴∠OAP=90°，
∵OA为半径，
∴PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CE⊥AP于E
∵∠DAC=∠CAP，CD⊥AD于D，CE⊥AP于E
∴CE=CD=3，
∵∠OAP=∠CEP=90°，∠P=∠P，
∴△PEC∽△PAO，
∴

CE

OA

=

PC

PO

，
设⊙O半径为Rcm，

3

R

=

5

5+R

，
R=

15

2

∴⊙O的直径BC的长为15cm．

点评：本题考查了切线的判定，解决切线问题时，常作的辅助线是连接圆心和切点．