Question

19．已知方程x²-（k+1）x-6=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）通过计算判别式的值得到△=（k+1）2+24＞0，从而可判断方程根的情况；
（2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=k+1，2t=-6，然后解方程组即可得到k和t的值．

解答 （1）证明∵△=（k+1）²-4×（-6）
=（k+1）2+24＞0，
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=k+1，2t=-6，
所以t=-3，则2-3=k+1，解得k=-2，
所以k的值为-2，方程的另一个根，为-3．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．