【题目】已知:如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BC=3cm,AC=3cm,点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s;点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为cm/s;若设运动的时间为t(s)(0<t<3),解答下列问题:
(1)如图①,连接PC,当t为何值时△APC∽△ACB,并说明理由;
(2)如图②,当点P,Q运动时,是否存在某一时刻t,使得点P在线段QC的垂直平分线上,请说明理由;
(3)如图③,当点P,Q运动时,线段BC上是否存在一点G,使得四边形PQGB为菱形?若存在,试求出BG长;若不存在请说明理由.
【答案】(1)t=,理由见解析;(2)存在,t=1,理由见解析;(3)不存在,理由见解析.
【解析】
(1)结合直角三角形性质,由△APC∽△ACB,得;(2)过点P作PM⊥AC,根据线段垂直平分线性质,求QM,AM的表达式,证△APM∽△ABC,得 ,;(3)假设线段BC上是存在一点G,使得四边形PQGB为平行四边形,则PQ∥BG,PQ=BG,由△APQ∽△ABC,得,得BP=2t=3,故PQ≠BP.
(1)在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=3cm,
∴AB=6,
由运动知,BP=2t,AQ= ,
∴AP=6﹣2t,
∵△APC∽△ACB,
∴t= ;
(2)存在,
理由:如图②,由运动知,BP=2t,AQ=,
∴AP=6﹣2t,CQ= ,
∵点P是CQ的垂直平分线上,
过点P作PM⊥AC,
∴QM=CM=
∴AM=AQ+QM= =(3+t)
∵∠ACB=90°,∴PM∥BC,
∴△APM∽△ABC
∴
∴解得t=1;
(3)不存在
理由:由运动知,BP=2t,,
∴AP=6﹣2t,
假设线段BC上是存在一点G,使得四边形PQGB为平行四边形,
∴PQ∥BG,PQ=BG,
∴△APQ∽△ABC,,
∴,
∴BP=2t=3,
∴PQ≠BP,
∴平行四边形PQGB不可能是菱形.即:线段BC上不存在一点G,使得四边形PQGB为菱形.
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【题目】 如图,四边形ABCD内接于以BC为直径的圆,圆心为O,且AB=AD,延长CB、DA交于P,过C点作PD的垂线交PD的延长线于E,且PB=BO,连接OA.
(1)求证:OA∥CD;
(2)求线段BC:DC的值;
(3)若CD=18,求DE的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的“衍生直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”.已知抛物线与其“衍生直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.
(1)填空:该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”,求点N的坐标;
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“衍生直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】一天晚上,小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时,测得影子CD的长为1米.当她继续向正东走到D处时,测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°.已知小颖的身高为1.5米,那么路灯AB的高度是多少米?( )
A.4米B.4.5米C.5米D.6米
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【题目】一艘运沙船装载着5000m3沙子,到达目的地后开始卸沙,设平均卸沙速度为v(单位:m3/小时),卸沙所需的时间为t(单位:小时).
(1)求v关于t的函数表达式,并用列表描点法画出函数的图象;
(2)若要求在20小时至25小时内(含20小时和25小时)卸完全部沙子,求卸沙的速度范围.
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【题目】如图1是小区常见的漫步机,当人踩在踏板上,握住扶手,像走路一样抬腿,就会带动踏板连杆绕轴旋转.如图2,从侧面看,踏板静止DE上的线段AB重合,测得BE长为0.21m,当踏板连杆绕着A旋转到AC处时,测得∠CAB=42°,点C到地面的距离CF长为0.52m,当踏板连杆绕着点A旋转到AG处∠GAB=30°时,求点G距离地面的高度GH的长.(精确到0.1m,参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,)
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