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【题目】已知:如图,在RtACB中,∠C=90°BC=3cmAC=3cm,点PB点出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s;点QA点出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为cm/s;若设运动的时间为t(s)(0t3),解答下列问题:

(1)如图①,连接PC,当t为何值时△APC∽△ACB,并说明理由;

(2)如图②,当点PQ运动时,是否存在某一时刻t,使得点P在线段QC的垂直平分线上,请说明理由;

(3)如图③,当点PQ运动时,线段BC上是否存在一点G,使得四边形PQGB为菱形?若存在,试求出BG长;若不存在请说明理由.

【答案】(1)t=,理由见解析;(2)存在,t=1,理由见解析;(3)不存在,理由见解析.

【解析】

1)结合直角三角形性质,由△APC∽△ACB,得;(2)过点PPMAC,根据线段垂直平分线性质,求QM,AM的表达式,证△APM∽△ABC,得 ;(3)假设线段BC上是存在一点G,使得四边形PQGB为平行四边形,则PQBGPQ=BG,由△APQ∽△ABC,得BP=2t=3,故PQ≠BP.

(1)RtACB中,∠C=90°AC=3cmBC=3cm

AB=6

由运动知,BP=2tAQ=

AP=62t

∵△APC∽△ACB

t=

(2)存在,

理由:如图②,由运动知,BP=2tAQ=

AP=62tCQ=

∵点PCQ的垂直平分线上,

过点PPMAC

QM=CM=

AM=AQ+QM= =(3+t)

∵∠ACB=90°,∴PMBC

∴△APM∽△ABC

∴解得t=1

(3)不存在

理由:由运动知,BP=2t

AP=62t

假设线段BC上是存在一点G,使得四边形PQGB为平行四边形,

PQBGPQ=BG

∴△APQ∽△ABC

BP=2t=3

PQ≠BP

∴平行四边形PQGB不可能是菱形.即:线段BC上不存在一点G,使得四边形PQGB为菱形.

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