Question

如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，

OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线

交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上

是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的

坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

 解：（1）由已知得：A（-1，0）   B（4，5）

∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)

∴                  

解得：b=-2   c=-3　　　　　　　　　　

（2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）B(4,5)

∴直线AB的解析式为：y=x+1                                                                               

∵二次函数

∴设点E(t， t+1),则F（t，） 

∴EF=               

    　　=

∴当时，EF的最大值=

∴点E的坐标为（，）　

（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．

可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）

S　=　S　+　S

         =

         = 　　

②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,

设点P(m,)

则有：      解得:,

∴,　

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）

则有：  　　解得： ，（与点F重合，舍去）∴

综上所述：所有点P的坐标：，（.  能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．