Question

如图，半径为2

5

的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．
（1）求证：PA•PB=PC•PD；
（2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠A、∠C所对的圆弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴

AP

CP

=

PD

PB

，
∴PA•PB=PC•PD；（3分）

（2）证明：∵F为BC的中点，△BPC为直角三角形，
∴FP=FC，∴∠C=∠CPF．
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE．
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD；（7分）

（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接PO，
∴OM²=（2

5

）²-4²=4，ON²=（2

5

）²-3²=11，
易证四边形MONP是矩形，
∴OP=

OM2+ON2

=

15

．（7分）