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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：C为反比例函数y=
    kx
    (k≠0，x＜0)    上一动点，过点C作直线l⊥x轴于A点，连接OC，过C点作CD⊥OC交曲线于点D（D在C右侧），连接OD，过D点作DB∥x轴交直线l于B点，S△AOC=4．
    （1）求k的值；
    （2）当OA=4时，在直线l上是否存在异于C的点P，使△OPD为直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）把△BCD沿CD翻折，当B点恰好落在OD上时，四边形OCBD的面积是否随着点C的运动而发生变化？若不变，请求出其面积；若变化，请说明理由．
    分析：（1）根据反比例函数解析式中k的几何意义，即可求得k的值；
    （2）已知0A=4，则C的横坐标是-4，代入反比例函数的解析式即可求得C的坐标，根据OC与CD互相垂直，则两直线的斜率互为负倒数，则CD的解析式即可求解，解CD得解析式与反比例函数的解析式组成的方程组即可求得D的坐标，然后分O、P、D分别是直角顶点三种情况，利用互相垂直的直线，两直线的斜率互为负倒数，即可求得P的坐标；
    （3）把△BCD沿着CD翻折，点B与CD上点E重合，DC平分∠BDC，则Rt△AOC∽Rt△BCD，设C（m，n），即可利用m，n表示出四边形的面积，据此即可求解．
    解答：解：（1）设C的坐标为（m，n），m＜0，
    1
    2
    |m||n|=4，
    ∴mn=±8，
    ∴k=xy=mn=±8．
    ∵反比例函数的图象一个分支在第二象限，
    ∴k=-8；

    （2）当OA=4时，m=-4，则n=-
    8
    -4
    =2，
    ∴C的坐标是：（-4，2）．
    ∵CD⊥OC，直线OC的斜率是：-
    1
    2
    ，
    ∴CD的方程为y=2x+10，
    ∴当k=-8时y=-
    8
    x
    ，．
    解方程组：
    y=-
    8
    x
    y=2x+10
    ，
    解得：
    x=-1
    y=8
    ，
    则D的坐标是：（-1，8）．
    ①若P（-4，y）为直角顶点时，OD的中点M为（-
    1
    2
    ，4）
    ∵MP=
    1
    2
    OD，
    ∴
    		(-4+
    1
    2
    )2+(y-4)2
    =
    1
    2
    		(-1)2+82

    则y-4=±2，∴y=6．（y=2舍去）
    ∴P（-4，6）；
    ②若D为直角顶点，则直线OD的斜率是-8，
    ∴PD的斜率是
    1
    8
    ．
    则直线PD的解析式是：y=
    1
    8
    x+
    65
    8

    ∴当x=-4时，y=
    61
    8
    ，
    ∴P（-4，
    61
    8
    ）；
    ③O为直角顶点时OP⊥OD，
    OP的解析式是：y=
    1
    8
    x，当x=-4时，y=-
    1
    2
    ，
    ∴P（-4，-
    1
    2
    ）
    当k=8时符合条件的点P为（-4，-6）或（-4，
    61
    8
    ）或（-4，
    1
    2
    ）．

    （3）把△BCD沿着CD翻折，点B与OD上点E重合，DC平分∠BDO，
    容易证明OC平分∠AOD，
    又∵BD⊥AB，AO⊥AB，
    ∴AC=BC=EC．
    ∵∠BDC=∠ACO=90°-∠BCD，
    ∴Rt△AOC∽Rt△BCD，
    ∴AO：BC=AC：BD，
    ∴BD=
    BC•AC
    OA
    ．
    设C（m，n），BD=-
    n2
    m
    ，
    D（m-
    n2
    m
    ，2n）．
    ∵C，D都在双曲线y=-
    8
    x
    上，
    2n•（m-
    n2
    m
    ）=-8，
    ∴mn=-8，
    ∴
    n2
    m2
    =
    1
    2
    ，∴m=-
    		2
    n，
    n2=4
    		2
    ．
    ∴S四边形OCBD=S梯形ABDO-S△AOC=2n[-
    n2
    m
    +（-m）]÷2-4
    =-
    n3
    m
    -mn-4=mn•（-
    n2
    m2
    ）+8-4=8×
    1
    2
    +4=8（定值）．
    点评：本题考查了反比例函数的直角三角形，以及图形的翻折，两直线垂直的条件，正确利用C的坐标表示出四边形的面积是关键．
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