Question

如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图（1），然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图（2），然后将BD、CE分别延长至M、N，使，，得到图（3），请解答下列问题：

（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：
①在图（2）中，BD与CE的数量关系是_______；
②在图（3）中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN 与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=k·AC（k>1），按上述操作方法，得到图（4），请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明。

Answer 1

解：（1）①BD=CE；
②AM=AN，∠MAN=∠BAC，
理由如下：
∵在题图（1）中，DE∥BC，AB=AC，
∴AD=AE，
在题图（3）中，在△ABD与△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
在△DAM与△EAN中，
∵，，BD=CE，
∵∠AEN=∠ACE+∠CAE，∠ADM=∠ABD+∠BAD，
∴∠ADM=∠AEN，
又∵AD=AE，
∴△ADM≌△AEN，
∴AM=AN，∠ DAM=∠EAN，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC，
∴AM=AN，∠MAN=∠BAC；
（2）AM=k·AN，∠MAN=∠BAC。