Question

【题目】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA＝AD＝DC，点E在CB延长线上，BE＝AD，连接AC、AE．

⑴ 求证：AE＝AC；

⑵ 若AB⊥AC， F是BC的中点，试判断四边形AFCD的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形AFCD是菱形，理由见解析

【解析】

（1）首先连接BD，根据等腰梯形的性质，可得AC=BD，易得四边形AEBD是平行四边形，由平行四边形的对边相等，即可得AE=BD，继而证得结论；
（2）由AB⊥AC，F是BC的中点，根据等腰梯形的性质，易求得∠ACB=30°，继而可证得AF=FC=CD=AD，则可判定四边形AFCD是菱形．

（1）连接BD

∵梯形ABCD是等腰梯形

∴AC＝BD

∵BE＝AD， AD∥BC

∴四边形AEBD是平行四边形

∴AE＝BD，

∴AE＝AC

（2）四边形AFCD是菱形， 理由是：

∵AB⊥AC， F是BC的中点

∴AF＝CF，

∴∠FAC＝∠FCA

∵AD＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠FCA

∴∠DCA＝∠FAC

∴AF∥DC

∵AD∥BC，AF∥DC

∴四边形AFCD是平行四边形

又AD＝DC

∴四边形AFCD是菱形