Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

Answer 1

【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．

【解析】

（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；

②根据VP≠VQ，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；

（2）根据VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程，解方程即可得到结果.

（1）①因为t＝1（秒），

所以BP＝CQ＝6（厘米）

∵AB＝20，D为AB中点，

∴BD＝10（厘米）

又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）

∴PC＝BD

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BPD与△CQP中，

,

∴△BPD≌△CQP（SAS），

②因为VP≠VQ，

所以BP≠CQ，

又因为∠B＝∠C，

要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝8，即△BPD≌△CPQ，

故CQ＝BD＝10．

所以点P、Q的运动时间（秒），

此时（厘米/秒）．

（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程

设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得，

解得x=(秒)

此时P运动了（厘米）

又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48，

所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．