Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O外一点，连接CA，连接OC交⊙O于点F，交⊙O的弦AD于点E，若点E恰好是AD的中点，且∠C=∠DFB，试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：先求得∠ADB=90°，再根据三角形相似求得∠AEO=∠ADB=90°，根据圆周角的性质得出∠BAD=∠BFD，进而求得∠BAD=∠C，从而求得BA⊥AC，即可证得AC是⊙O的切线；

解答：解：AC是⊙O的切线；
理由：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵

AE

AD

=

1

2

，

OA

AB

=

1

2

，
∴

AE

AD

=

OA

AB

，
∵∠OAE=∠BAD，
∴△OAE∽△BAD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠AOE=90°，
∵∠BAD=∠BFD，∠C=∠DFB，
∴∠BAD=∠C，
∴∠C+∠AOE=90°，
∴∠OAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．

点评：本题考查了圆周角的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形锐角互余以及切线的判定等，作出辅助线构建直角三角形是关键；