Question

（2012•崇左）如图，已知∠XOY=90°，等边三角形PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一个顶点B在∠XOY的内部．
（1）当顶点P在射线OY上移动到点P₁时，连接AP₁，请用尺规作图；在∠XOY内部作出以AP₁为边的等边△AP₁B₁（要求保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）设AP₁交OB于点C，AB的延长线交B₁P₁于点D．求证：△ABC∽△AP₁D；
（3）连接BB₁，求证：∠ABB₁=90°．

Answer 1

分析：（1）分别以A、P₁为圆心，AP₁长为半径画弧，两弧交于B₁点，△AP₁B₁即为所求；
（2）欲证△ABC∽△AP₁D，必须有两组角相等，∠BAC=∠P₁AD为一个公共角，又因为△PAB和△P₁AB₁都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP₁D=60°所以△ABC∽△AP₁D；
（3）有（1）（2）可知AO=AB，AP₁=AB₁，∠PAB=∠P₁AB₁=60°，所以有∠OAP₁=∠BAB₁=60°-∠CAB，因此根据边角边公式可证△OAP₁≌△BAB₁，因此可得∠ABB₁=∠AOP₁=90°

解答：（1）解：等边三角形作图所如下；
（2）∵△PAB、△P₁AB₁是等边三角形，
∴∠ABC=∠AP₁D=60°，
又∵∠BAC=∠P₁AD，
∴△ABC∽△AP₁D．
（3）证明：
∵△PAB、△P₁AB₁是等边三角形，
∴∠BAP=∠P₁AB₁=60°，AB=AP，AB₁=AP₁．
∴∠BA B₁=∠P₁AP．
∴△BA B₁≌△P₁AP（SAS）．
∴∠AB B₁=∠P₁ PA=90°．

点评：此题主要考查了相似的判定以及等边三角形的一些基本性质．