Question

梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=30° AD=8cm，CD=16cm，BC=28cm，点P、Q分别是梯形某边上同时出发的一个动点，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点随之停止运动．其中，点P移动的速度是1cm/s，点Q移动的速度是2cm/s．
（1）在图①中，点P从点A出发向点D移动，点Q从点C出发向点B移动，设所移动的时间为t．t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）在图②中，如果点P从点A出发向点D移动，点Q从点C出发向点D移动．设所移动的时间为t，用关于t的式子表示△PQB的面积，并求出t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，
当DP=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，
即8-t=2t时，四边形PQCD是平行四边形，
∴t=，
答：当t为时，四边形PQCD是平行四边形．

（2）
过D作DF⊥BC于F，过Q作QH⊥BC于H，
∵∠C=30°，CQ=2t，CD=16，
∴QH=t，DF=8，
∴△PQB的面积是S=S_梯形ABCD-S_△APB-S_△PDQ-S_△BQC
=×（8+28）×8-×t×8-×（8-t）×（8-t）-×28×t
=-t²-10t+112，
∵8÷1=8，16÷2=8，
∴t的取值范围是0≤t＜8．
分析：（1）根据平行四边形的判定，求出DP=CQ时t的值即可；
（2）过D作DF⊥BC于F，过Q作QH⊥BC于H，求出三角形和梯形的高DF、QH，根据面积公式求出即可．
点评：本题考查了平行四边形的判定，三角形的面积，梯形等知识点，（1）用的知识点是有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，（2）把三角形的面积转化成梯形和能求出的三角形的面积，根据面积的和或差求出就可以．