Question

定义一种对于三位数

.

abc

（a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排

.

abc

的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零）．例如

.

abc

=213时，则

（1）579经过三次“F运算”得

495

；
（2）假设

.

abc

中a＞b＞c，则

.

abc

经过一次“F运算”得

99（a-c）

（用代数式表示）；
（3）猜想；任意一个三位数经过若干次“F运算’’都会得到一个定值

495

，请证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根据“F运算”的定义得到579经过三次“F运算”的结果即可；
（2）

.

abc

=100a+10b+c，

.

cba

=100c+10b+a，相减即可求解；
（3）设这个三位数中三个数字为a≥b≥c，且a≥c+1，则“F运算”有

.

abc

-

.

cba

=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），找出规律解决问题．

解答：解：（1）①975-579=396；②963-369=594；③954-459=495；

（2）（100a+10b+c）-（100c+10b+a）
=100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c
=99（a-c）；

（3）不妨设这个三位数中三个数字为a≥b≥c，且a≥c+1，
则“F运算”有

.

abc

-

.

cba

=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9；
共有990，981，972，963，954五种情况；
以990为例得，990-099=891，
981-189=792，
972-279=693，
963-369=594，
954-459=495，
…
由此可知最后得到495数就会循环．
故答案为：495；99（a-c）；495．

点评：考查了整数的十进制表示法，主要从数的变化中得到第一次变化后所得到的数，由此找出规律得出问题的解．设出这三位数，根据题意列出算式是解答本题的关键．