Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（8，0），点B在y轴的正半轴上，且cot∠OAB=

4

3

，抛物线y=-

1

4

x²+bx+c经过A、B两点．
（1）求b、c的值；
（2）过点B作CB⊥OB，交这个抛物线于点C，以点C为圆心，CB为半径长的圆记作圆C，以点A为圆心，r为半径长的圆记作圆A．若圆C与圆A外切，求r的值；
（3）若点D在这个抛物线上，△AOB的面积是△OBD面积的8倍，求点D的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据点A的坐标求出OA，再求出OB，然后写出点B的坐标，再把点A、B的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再求出CB，再利用两点间的距离公式求出AC，然后根据两圆外切的定义列式求解即可得到r；
（3）先求出△AOB的面积，再求出△OBD的面积，然后求出点D到OB的距离，再根据抛物线解析式求解即可．

解答：解：（1）∵A（8，0），
∴OA=8，
∵cot∠OAB=

OA

OB

=

4

3

，
∴OB=6，
∵点B在y轴正半轴上，
∴点B的坐标为（0，6），
∴

- 1 4 ×82+8b+c=0 c=6

，
解得

b= 5 4 c=6

；

（2）由（1）得抛物线解析式为y=-

1

4

x²+

5

4

x+6，
∵CB⊥OB，点B（0，6），
∴点C的坐标为（5，6），
∴CB=5，
∴AC=

(8-5)2+(0-6)2

=3

5

，
∵圆C与圆A外切，
∴CB+r=AC，
∴r=3

5

-5；

（3）∵OA=8，OB=6，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×8×6=24，
∵△AOB的面积是△OBD面积的8倍，
∴S_△OBD=

1

8

×24=3，
∵点D在这个抛物线上，
∴可设点D的坐标为（x，-

1

4

x²+

5

4

x+6），
∴S_△OBD=

1

2

×|x|×OB=3，
∴x=±1，
当x=1时，-

1

4

x²+

5

4

x+6=-

1

4

×1²+

5

4

×1+6=7，
当x=-1时，-

1

4

x²+

5

4

x+6=-

1

4

×（-1）²+

5

4

×（-1）+6=

9

2

，
所以，点D的坐标为（1，7）或（-1，

9

2

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，圆与圆的位置关系，三角形的面积，综合题但难度不大，要注意（3）有两种情况．