Question

16．在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，D为AC中点，点P是线段AD上的一点，点P与点A、点D不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，连接A₁B₁、BB₁
（1）如图①，当0°＜α＜90°，在α角变化过程中，请证明∠PAA₁=∠PBB₂．
（2）如图②，直线AA₁与直线PB、直线BB₁分别交于点E，F．设∠ABP=β，当90°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当α=90°时，点E、F与点B重合．直线A₁B与直线PB相交于点M，直线BB_′与AC相交于点Q．若AB=$\sqrt{2}$，设AP=x，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先利用旋转得出两个顶角相等的两个等腰三角形，即可得出结论；
（2）假设存在，然后利用确定的出AE=BE，即可求出∠A₁AP=∠AA₁P，最后用∠BAC=45°建立方程化简即可；
（3）先判断出△ABQ∽△CPB，得出比例式即可得出结论．

解答 解：（1）∵将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，
∴∠APA₁=∠BPB₁=α，AP=A₁P，BP=B₁P，
∴∠AA₁P=∠A₁AP=$\frac{180°-∠AP{A}_{1}}{2}$=$\frac{180°-α}{2}$，∠BB₁P=∠B₁BP=$\frac{180°-∠BP{B}_{1}}{2}$=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠PAA₁=∠PBB₁，

（2）假设在α角变化的过程中，存在△BEF与△AEP全等，
∵△BEF与△AEP全等，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE=β，
∵AP=A₁P，
∴∠A₁AP=∠AA₁P=$\frac{180°-α}{2}$，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴β+$\frac{180°-α}{2}$=45°，
∴α-2β=90°，

（3）当α=90°时，
∵AP=A₁P，BP=B₁P，∠APA₁=∠BPB₂=90°，
∴∠A=∠PBB₁=45°，
∵∠A=∠C，∠AQB=∠C+∠QBC=45°+∠QBC=∠PBC，
∴△ABQ∽△CPB，
∴$\frac{AQ}{BC}=\frac{AB}{PC}$，
∵AB=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2-y}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2-x}$，
∴y=$\frac{2x-2}{x-2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是得出∠BAC=45°，解（3）的关键是判断出△ABQ∽△CPB，是一道很好的中考常考题．