Question

已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1．
（1）求BC、AP₁的长；
（2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
（3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切．
①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围；
②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何并说明理由．

Answer 1

分析：（1）求BC、AP₁的长，因为BC=2AB，可以根据直线的解析式是y=2x+1，确定B、P₁的坐标，得出AB的距离，从而求出；
（2）根据梯形PECD的面积公式求出PD、EC、CD的长，从而求出S与m之间的函数关系式，及自变量m的取值范围；
（3）根据圆与圆的位置关系，圆心距＞两圆的半径时外离，圆心距=两圆的半径时相切，圆心距＜两圆的半径时相交，求出AP相应的取值范围，确定⊙P和⊙E的位置关系．

解答：解：（1）BC=4，AP₁=1．y=2x+1，可以求出B（0，1），P₁（1，3），AB=3-1=2，BC=2AB=4，AP₁=1；

（2）S=9-2m；
∵1≤m＜4，
∴PD=4-m，EC=4-m+1=5-m，CD=2，
∴S=0.5（4-m+5-m）×2=9-2m（1≤m＜4）；

（3）①在RT△ABP₁中，
∵AB=2，AP₁=1，
∴BP₁=

5

，点P在AD上运动时，PF=PE-EF=

5

-1，
当⊙P和⊙E相切时，PF=PE-EF=

5

-1；
∵RT△APF∽RT△ACD，
∴AP：AC=PF：CD，
∴AP=5-

5

，
∴当1≤m＜5-

5

时，两圆外离，
当m=5-

5

时，两圆外切，
当5-

5

＜m＜4时，两圆相交．
②外离或相交．理由如下：
∵矩形ABCD的面积是8，且直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5，
∴S_{四边形PECD}=5或者S_{四边形PECD}=3，
当S_{四边形PECD}=5时，9-2m=5，m=2，即AP=2，
∴1≤AP＜5-

5

，
∴此时两圆外离．
当S_{四边形PECD}=3时，9-2m=3，m=3，即AP=3，
∴5-

5

＜AP＜4，
∴此时两圆相交．

点评：本题综合考查了函数解析式，及直线与圆、圆与圆的位置关系．圆与圆的位置关系有：相离（外离，内含），相交、相切（外切、内切），直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样一来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．