Question

如图，平面直角坐标系中，点O（0，0）、A（1，0），过点A作x轴的垂线交直线y=x于点B，以O为圆心，OA为半径的圆交y轴于C、D两点，抛物线y=x²+bx+c经过B、D．
（1）求b，c的值；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE并延长交⊙O于F，求EF的长；
（3）若⊙O交x轴负半轴于点G，过点C作⊙O的切线交DG的延长线于点P．
探究：点P是否在抛物线上？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为点O（0，0）、A（1，0），所以可求出圆的半径为1，所以点B点的坐标为（1，1），D点的坐标为（0，-1），再把B，D的坐标分别代入可求出b，c的值；
（2）先求出抛物线的对称轴，进而求出DE的长，利用三角形相似得到FD和已知线段的关系，从而求出求EF的长；
（3）现设出过D、G点的直线为：y=kx+b，再把D、G点的坐标代入求出直线的解析式，再利用条件可判断点P是否在抛物线上．

解答：（1）点B（1，1），D（0，-1），
将B（1，1），D（0，-1），代入y=x²+bx+c，得b=1，c=-1；

（2）由y=x2+x-1=(x+

1

2

)2-

5

4

，∴DE=

OE2+1

=

5

2

．
连接CF，由△CFD∽△EOD，得

CD

ED

=

FD

OD

，
∴FD=

4 5

5

，∴EF=FD-DE=

3 5

10

（3）点P在抛物线上．
设过D、G点的直线为：y=kx+b，
将点G（-1，0），D（0，-1）代入y=kx+b，
得直线DG为：y=-x-1．
过点C作⊙O的切线CP与x轴平行，P点的纵坐标为1，
将y=1代入y=-x-1，得：x=-2．
∴P点的坐标为（-2，1）
又当x=-2时，y=x²+x-1=1，
∴P点在抛物线y=x²+x-1上．

点评：本题考查了二次函数、一次函数和圆的相关知识相结合，考查了用待定系数法求函数解析式、函数图象交点个数与函数解析式组成的方程组解的个数的关系以及点的存在性问题，有一定的开放性．