Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点， DFAC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若，CF=9，求AE的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）7．

试题分析：（1）连接OD，AD，求出OD∥AC，推出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可.
（2）求出CD、DF，推出四边形DMEF和四边形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求出答案．
试题解析：（1）连接OD，AD，
∵AB是⊙的直径，∴∠ADB=90°.
又∵AB=AC，∴BD=CD.
又∵OB=OA，∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.
又∵OD为⊙的半径，∴DF为⊙O的切线．

（2）连接BE交OD于M，过O作ON⊥AE于N，则AE=2NE，
∵，CF=9，∴DC=15．∴.
∵AB是直径，∴∠AEB=∠CEB=90°.
∵DF⊥AC，OD⊥DF，∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°.∴四边形DMEF是矩形.
∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF.即OD⊥BE.
同理四边形OMEN是矩形，∴OM=EN.
∵OD为半径，∴BE=2EM=24.
∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，∴△CFD∽△CEB.
∴，即.
∴EF=9=DM.
设⊙O的半径为R，
则在Rt△EMO中，由勾股定理得：，解得：.
则EN=OM=.
∴AE=2EN=7．