已知:在Rt△ABC中.∠ABC=90°.D是AC的中点.⊙O经过A.D.B三点.CB的延长线交⊙O于点E．在满足上述条件的情况下.当∠CAB的大小变化时.图形也随着改变.在这个变化过程中.有些线段总保持着相等的关系．(1)观察上述图形.连接图2中已标明字母的某两点.得到一条新线段与线段CE相等.请说明理由,(2)在图2中.过点E作⊙O的切线.交AC的延长线于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

（2005•北京）已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）．
在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．
（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由；
（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD，求sin∠CAB的值；
②若

=n（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．

【答案】分析：（1）连接AE，由图不难看出OD是三角形ABC的中线，那么OD=

CE，又因为OD是半径，AE是直径，因此AE=CE；
（2）若CD=CF，那么AD=CD=CF，由图不难得出Rt△ADE∽Rt△EDF，那么就可用AD，DF表示出DE，然后根据直角三角形CDE中，CE²=CD²+DE²，这样就能表示出CE了，那么∠CED的正弦函数也就求出来了，∠CAB的正弦值也就有了．
解答：解：（1）连接AE，
求证：AE=CE．

证明：如图，连接OD，
∵∠ABC=90°，CB的延长线交⊙O于点E，
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O的直径，
∵D是AC的中点，O是AE的中点，
∴OD=

CE
∵OD=

AE
∴AE=CE．

（2）①根据题意画出图形，如图，连接DE，
∵AE是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，

∴∠ADE=∠AEF=90°，
∴Rt△ADE∽Rt△EDF，
∴

．
设AD=k（k＞0），则DF=2k，
∴

，
∴DE=

k．
在Rt△CDE中，
∵CE²=CD²+DE²=k²+（

k）²=3k²，
∴CE=

，
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE，
∴∠CAB=∠DEC，
sin∠CAB=sin∠DEC=

．
②sin∠CAB=

（n＞0）．
点评：本题综合考查了切线的性质，相似三角形，解直角三角形等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．

练习册系列答案

68所名校图书全国著名重点中学3年招生试卷及预测试题精选系列答案

53中考真题卷系列答案

A级口算系列答案

A加优化作业本系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源：2005年全国中考数学试题汇编《二次函数》（08）（解析版） 题型：解答题

（2005•北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax²+bx+c经过O、A两点．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA=