【题目】阅读理解:小明热爱数学,在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”:三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1,在△ABC中,点D为BC的中点,根据“中线长定理”,可得:
AB2+AC2=2AD2+2BD2 . 小明尝试对它进行证明,部分过程如下:
解:过点A作AE⊥BC于点E,如图2,在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2 ,
同理可得:AC2=AE2+CE2 , AD2=AE2+DE2 ,
为证明的方便,不妨设BD=CD=x,DE=y,
∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…
(1)请你完成小明剩余的证明过程;
理解运用:
(2)①在△ABC中,点D为BC的中点,AB=6,AC=4,BC=8,则AD=;
②如图3,⊙O的半径为6,点A在圆内,且OA=2 ,点B和点C在⊙O上,且∠BAC=90°,点E、F分别为AO、BC的中点,则EF的长为
拓展延伸:
(3)小明解决上述问题后,联想到《能力训练》上的题目:如图4,已知⊙O的半径为5 ,以A(﹣3,4)为直角顶点的△ABC的另两个顶点B,C都在⊙O上,D为BC的中点,求AD长的最大值.
请你利用上面的方法和结论,求出AD长的最大值.
【答案】
(1)解:过点A作AE⊥BC于点E,如图2,在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2,
同理可得:AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2,为证明的方便,不妨设BD=CD=x,DE=y,
∴AB2+AC2=2AE2+(x+y)2+(x﹣y)=2AE2+2x2+2y2、
=2AE2+2BD2+2DE2=2AD2+2BD2
(2),4
(3)如图4中,连接OA,取OA的中点E,连接DE.
由(2)的②可知:DE═ OB2﹣
OA2=
,
在△ADE中,AE= ,DE=
,
∵AD≤AE+DE,
∴AD长的最大值为 +
=10
【解析】解:(2)①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2,
∴62+42=2AD2+2×42,
∴AD=
②如图3中,
∵AF是△ABC的中线,EF是△AEO的中线,OF是△BOC的中线,
∵2EF2+2AE2=AF2+OF2,
2AF2+2BF2=AB2+AC2,
OF2=OB2﹣BF2,
∴4EF2=2OB2﹣4AE2=2OB2﹣OA2,
∴EF=2= OB2﹣
OA2=16,
∴EF=4(负根以及舍弃),
所以答案是 .4.
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【题目】某城市为鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费,月用水量不超过20m3时,按2元/m3计费;月用水量超过20m3时,超过部分按2.6元/m3计费.设每户家庭的月用水量为xm3时,应交水费y元.
(1)试求出0≤x≤20和x>20时,y与x之间的函数关系;
(2)小明家第二季度用水量的情况如下:
月份 | 四月 | 五月 | 六月 |
用水量(m3) | 15 | 17 | 21 |
小明家这个季度共缴纳水费多少元?
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【题目】操作探究:
(1)实践:如图1, 中,
为
边上的中线,
的面积记为
,
的面积记为
.则
.
(2)探究:在图2中,、
分别为四边形
的边
、
的中点,四边形
的面积记为
,阴影部分面积记为
,则
和
之间满足的关系式为______:
(3)解决问题:
在图3中,、
、
、
分别为任意四边形
的边
、
、
、
的中点,并且图中阴影部分的面积为
平方厘米,求图中四个小三角形的面积和,并说明理由.
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【题目】△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A:∠B:∠C=3:4:5;③a2=(b+c)(b-c);④a:b:c=5:12:13,其中能判断△ABC是直角三角形的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】为了绿化环境,某中学八年级(3班)同学都积极参加了植树活动,下面是今年3月份该班同学植树情况的扇形统计图和不完整的条形统计图:
请根据以上统计图中的信息解答下列问题.
(1)植树3株的人数为 ;
(2)扇形统计图中植树为1株的扇形圆心角的度数为 ;
(3)该班同学植树株数的中位数是
(4)小明以下方法计算出该班同学平均植树的株数是:(1+2+3+4+5)÷5=3(株),根据你所学的统计知识
判断小明的计算是否正确,若不正确,请写出正确的算式,并计算出结果
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【题目】某种事物经历了加热,冷却两个联系过程,折线图DEF表示食物的温度y(℃)与时间x(s)之间的函数关系(0≤x≤160),已知线段EF表示的函数关系中,时间每增加1s,食物温度下降0.3℃,根据图象解答下列问题;
(1)当时间为20s、100s时,该食物的温度分别为℃,℃;
(2)求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式;
(3)时间是多少时,该食物的温度最高?最高是多少?
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【题目】某中学初三(1)班共有40名同学,在一次30秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表:
跳绳数/个 | 81 | 85 | 90 | 93 | 95 | 98 | 100 |
人 数 | 1 | 2 | 8 | 11 | 5 |
将这些数据按组距5(个)分组,绘制成如图的频数分布直方图(不完整).
(1)将表中空缺的数据填写完整,并补全频数分布直方图;
(2)这个班同学这次跳绳成绩的众数是个,中位数是个;
(3)若跳满90个可得满分,学校初三年级共有720人,试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分.
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