Question

5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，点M，N分别在边BC，AD上，将纸片ABCD沿直线MN对折，使点A落在CD边上，则线段BM的取值范围是$\frac{3}{4}$≤BM≤1．

Answer 1

分析 连接A′M，AM，根据折叠的性质得到AM=A′M，设BM=x，A′C=t，则CM=2-x，根据勾股定理列方程得到x=$\frac{{t}^{2}+3}{4}$（0≤t≤1），当t=0时，BM=x的值最小，即BM=$\frac{3}{4}$，当t=1时，BM=x的值最大，即BM=1，即可得到结论．

解答 解：连接A′M，AM，
∵将纸片ABCD沿直线MN对折，使点A落在CD边上，
∴AM=A′M，
设BM=x，A′C=t，
则CM=2-x，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB²+BM²=CM²+A′C²，
即1²+x²=（2-x）²+t²，
解得：x=$\frac{{t}^{2}+3}{4}$（0≤t≤1），
当t=0时，BM=x的值最小，即BM=$\frac{3}{4}$，
当t=1时，BM=x的值最大，即BM=1，
∴线段BM的取值范围是：$\frac{3}{4}$≤BM≤1．
故答案为：$\frac{3}{4}$≤BM≤1．

点评 本题考查了翻折变换-最大问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．