Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C₁，连接BB₁．设CB₁交AB于点D，A₁B₁分别交AB、AC于点E、F．
（1）在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出图中的所有全等三角形，并对不包括△ABC和△A₁B₁C₁的一对全等三角形加以证明；
（2）当α=60°时，求BD的长；
（3）当△BB₁D是等腰三角形时，求角α的度数．

Answer 1

解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等；
以证△CBD≌△CA₁F为例：
证明：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°
∴∠A₁CF=∠BCD
∵A₁C=BC
∴∠A₁=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA₁F；

（2）作DG⊥BC于G，设CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，∴DG=xtan60°=x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，∴BG=GD=x
∵AC=BC=1，∴x+x=1
x=，∴DB=BG=．

（3）在△CBB₁中
∵CB=CB₁
∴∠CBB1=∠CB1B=（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B₁B=B₁D，则∠B₁DB=∠B₁BD
∵∠B₁DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB1-45°=（180°-α）-45°=45°-
∴45°+α=45°-，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，则∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=（180°-α），
解得α=30°，
由①②③可知，当△BB₁D为等腰三角形时，α=30°．
分析：（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等．由旋转的意义可证∠A₁CF=∠BCD，A₁C=BC，∠A₁=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA₁F．
（2）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函数即可求得BD的长．
（3）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．
点评：本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．