Question

20．已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BF+DE．

Answer 1

分析 先由正方形的性质得AB=AD，∠BAC=∠D=∠ABC=90°，则可把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，如图，根据旋转的性质得AG=AE，BG=DE，∠EAG=90°，∠ABG=∠D=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，得到BF+BG=GF，然后证明△AEF≌△AGF得到EF=FG，于是有EF=BF+BG=BF+DE．

解答 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠D=∠ABC=90°，
∴把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，如图，
∴AG=AE，BG=DE，∠EAG=90°，∠ABG=∠D=90°，
∴点G在CB的延长线上，
∴BF+BG=GF，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=45°，
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
∴EF=BF+BG=BF+DE．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质．