Question

如图1，中，，，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形．设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．

（1）求的长；

（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值．

为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：

张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？

李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，那么，（12，36）表示当时，的长与矩形面积的对应关系.

赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！

孔明：哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了.

    请根据上述对话，帮他们解答这个问题.

图1                                                                              图2

Answer 1

（1）当时，  ∴，

又在中，，∴   ∴  ∴   

（2）解法一：若 ，则，，∴，整理得                                      

∴ 当时，.                                

解法二：由，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为，将（12，36）代入求得，∴，整理得，∴ 当时，.       

解法三：由，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为，∴抛物线顶点的横坐标为8.∴当时，矩形的面积最大，此时，，∴，∴最大面积为48.