Question

（2012•思明区质检）在平面直角坐标系中，已知函数y₁=2x和函数y₂=-x+6，不论x取何值，y₀都取y₁与y₂二者之中的较小值．
（1）求y₀关于x的函数关系式；
（2）现有二次函数y=x²-8x+c，若函数y₀和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；
（3）在（2）的结论下，若函数y₀和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）联立两函数解析式求出交点坐标，然后根据一次函数的增减性解答；
（2）根据一次函数的增减性判断出x≥2，再根据二次函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性可得x≤4，从而得解；
（3）①若函数y=x²-8x+c与y₀=-x+6只有一个交点，联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范围内，则符合；②若函数y=x²-8x+c与y₀=-x+6有两个交点，先利用根的判别式求出c的取值范围，方法一：先求出x=2与x=4时的函数值，然后利用一个解在x的范围内，另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可；方法二：联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，并求出方程的解，再根据两个解一个在x的范围内，另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可．

解答：解：（1）联立

y=2x y=-x+6

，
解得

x=2 y=4

，
所以，y₀=

2x(x≤2) -x+6(x≥2)

；
（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）

（2）∵对函数y₀，当y₀随x的增大而减小，
∴y₀=-x+6（x≥2），
又∵函数y的对称轴为直线x=4，且a=1＞0，
∴当x≤4时，y随x的增大而减小，
∴2≤x≤4；

（3）①若函数y=x²-8x+c与y₀=-x+6只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内，
则x²-8x+c=-x+6，
即x²-7x+（c-6）=0，
△=73-4c=0，
解得c=18

1

4

，
此时x₁=x₂=

7

2

，符合2＜x＜4，
所以，c=18

1

4

，
②若函数y=x²-8x+c与y₀=-x+6有两个交点，其中一个在2≤x≤4范围内，另一个交点在2≤x≤4范围外，
则△=73-4c＞0，
解得c＜18

1

4

，
方法一：对于y₀=-x+6，当x=2时，y₀=4，
当x=4时，y₀=2，
又∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
若y=x²-8x+c与y₀=-x+6在2＜x＜4内有一个交点，
则当x=2时，y＞y₀，当x=4时，y＜y₀，
即当x=2时，y≥4；当x=4，时y≤2，
也就是

4-16+c＞4 16-32+c＜2

，
解得16＜c＜18，
由c＜18

1

4

，得16＜c＜18…..…（12分）
方法二：联立

y=x2-8x+c y=-x+6

消去y得，
x²-7x+（c-6）=0，
解得x=

7± 73-4c

2

，
由函数y=x²-8x+c与y₀=-x+6的一个交点在2≤x≤4范围内，另一个交点在2≤x≤4范围外，
可得：

2＜ 7+ 73-4c 2 ＜4 7- 73-4c 2 ＜2

或

2＜ 7- 73-4c 2 ＜4 7+ 73-4c 2 ＞4

，
解第一个不等式组，可得

c＜16 c＞18

即无解，
解第二个不等式组，可得

c＞16 c＜18

即16＜c＜18，
由c＜18

1

4

，得16＜c＜18．
综上所述，c的取值范围是：c=18

1

4

或16＜c＜18．

点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及联立两函数解析式求交点坐标，一次函数与二次函数的增减性，以及交点的个数的讨论求解，（3）难点在于要分只有一个交点且交点横坐标在x的取值范围内，有两个交点，但只有一个交点的横坐标在x的取值范围内，而另一交点在范围外，比较复杂且难度较大．