大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同可以证明一类含有线段的等式.这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用:在等腰三角形ABC中.AB=AC.其一腰上的高为h.M是底边BC上的任意一点.M到腰AB.AC的距离分别为h1.h2．(1)请你结合图形来证明:h1+h2=h,(2)当点M在BC延长线上时.h1.h2.h之间又有什么样的结论� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h₁、h₂．
（1）请你结合图形来证明：h₁+h₂=h；

（2）当点M在BC延长线上时，h₁、h₂、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y=

x+3，l₂：y=-3x+3，若l₂上的一点M到l₁的距离是

．求点M的坐标．

【答案】分析：（1）根据S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC即可求出答案；
（2）h₁-h₂=h；
（3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分（ⅰ）当点M在BC边上时，（ⅱ）当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．
解答：

（1）证明：连接AM，由题意得h₁=ME，h₂=MF，h=BD，
∵S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC，
S_△ABM=

×AB×ME=

×AB×h₁，
S_△AMC=

×AC×MF=

×AC×h₂，
又∵S_△ABC=

×AC×BD=

×AC×h，AB=AC，
∴

×AC×h=

×AB×h₁+

×AC×h₂，

∴h₁+h₂=h．

（2）解：如图所示：（5分）
h₁-h₂=h．（7分）

（3）解：在y=

x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，
所以A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．

AB=

=5，AC=5，所以AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．（9分）．
（ⅰ）当点M在BC边上时，由h₁+h₂=h得：

+M_y=OB，M_y=3-

，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=

，
所以此时M（

，

）．（10分）
（ⅱ）当点M在CB延长线上时，由h₁-h₂=h得：M_y-

=OB，M_y=3+

，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=-

，
所以此时M（-

，

）．（11分）．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点M的坐标为M（

，

）或（-

，

）．（12分）
点评：（1）（2）的结果容易得到，解答（3）时，注意要灵活应用（1）（2）的结果．

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